设 $L$ 是 $F$ 上的一个向量空间，在其上定义运算李括号（Lie Algebra）

为满足如下性质的运算：

1. （L 1）双线性性；
2. （L 2）斜对称性：$[x,x]=0$，$\mathrm{\forall }x\in V$；
3. （L 3）Jacobi 等式：$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$。

则称 $(L,[,])$ 构成一个李代数（Lie Algebra）。

1. 在数域 $F$ 的特征 $\mathrm{char}F$ 不为 $2$ 时，条件 (L 2) 等价于$$\begin{array}{}\text{(L2’)}& [x,y]=-[y,x],x,y\in L,\end{array}$$即通常认为的“反对称性”。
2. 结合反对称性，Jacobi 等式可以写为$$\begin{array}{}\text{(L3’)}& [x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z\parallel x,y],z]+[y,[x,z]].\end{array}$$如果将李括号写为乘法形式，可以记作$$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c+b\cdot (a\cdot c).$$这称为 Leibniz 律，得名于导数的 Leibniz 法则：$\mathrm{d}(xy)=(\mathrm{d}x)y+y\mathrm{d}x$。 (L 1) 与 (L 3') 合称 Leibniz 代数。
3. 由定义可知，李代数不是结合代数。

1. 考虑 ${\mathbb{R}}^3$ 上的外积结构： $({\mathbb{R}}^3,\times )$。由于其外积规则满足双线性性、斜对称性及 Jacobi 等式，因此其为一个 （3 维）李代数。
2. 考虑乘法群及其上的交换子（commutator）：$$[A,B]:=AB-BA,A,B\in M_n(\mathbb{F}).$$可以验证其构成一个李代数。事实上， $F-$ 代数上的交换子是李括号的一个经典例子。

设 $\phi$ 为李代数 $L$ 到李代数 $L^{\prime }$ 的一个线性同态：$\phi \in {\mathrm{hom}}_F(L,L^{\prime })$。称 $\phi$ 为一个李代数同态（Lie homomorphism），当且仅当 $\phi$ 保持李括号运算：

若一个李代数同态为双射，则称其为一个李代数同构（Lie isomorphism）。

给定李代数 $L$ 及其的一个元素 $x$，称

为 $x$ 在 $L$ 中的一个伴随表示（adjoint representation）。可以验证伴随表示是 $L$ 上的一个自同态。这里 $L$ 上的伴随表示算子

在不引起歧义（例如，不会在不同的李代数间切换）的情况下，可以省略 $L$ ，直接写为 $\mathrm{ad}$ ．
注意：你应该亲手通过 Jacobi 等式验证 $\mathrm{ad}[x,y]=[\mathrm{ad}x,\mathrm{ad}y]$ ．

运用伴随表示的记号，可以将 Jacobi 等式的 (L 3') 形式写为

即将 $\mathrm{ad}x$ 看作一个算子作用于李括号后，呈现为 Leibniz 律。

1. 一维李代数有且只有平凡代数：$L=\mathbb{R}\alpha$，$[x,y]=0$。
2. 二维李代数 $L=\mathbb{R}\alpha \oplus \mathbb{R}\beta$ 在同构意义下可以分为以下两种：
3. 平凡李代数：$[x,y]=0$；
4. 存在一组基 $x,y$，使得 $[x,y]=-[y,x]=y$。

1. 平凡李代数：$[x,y]=0$；
2. ${\mathbb{R}}^3$ 及其上外积结构：$[\alpha ,\beta ]=\gamma ,[\beta ,\gamma ]=\alpha ,[\gamma ,\alpha ]=\beta$；
3. ${\mathrm{Sl}}_2(\mathbb{R})$ 及其上交换子：$[A,B]=AB-BA$。这里 ${\mathrm{Sl}}_n(\mathbb{F})$ 为特殊线性群：$${\mathrm{Sl}}_n(\mathbb{F}):=\{A\in M_n(\mathbb{F}):\mathrm{tr}A=0\}.$$

三维欧氏空间外积的“复版本” $$V＝\operatorname{span}_{{\mathbb{C}}}(e_1,e_2,e_3),\quad [e_1,e_2]=e_3,\ [e_2,e_3]=e_1,\ [e_3,e_1]=e_2$$ 与 ${\mathrm{Sl}}_2(\mathbb{C})$ 同构。

矩阵空间可表示为对称矩阵空间与斜对称矩阵空间的直和：

这里 $S_n$ 为 $n$ 阶实对称方阵空间，$K_n$ 为 $n$ 阶实斜对称方阵空间。可以证明， $K_3(\mathbb{R})\cong ({\mathbb{R}}^3,\times )$，$K_3(\mathbb{C})\cong {\mathrm{Sl}}_2(\mathbb{C})$。

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$ 上的一个线性空间，$\mathrm{End}V$ 为其上线性映射全体：

在 $\mathrm{End}V$ 上定义李括号为交换子：$[x,y]=xy-yx$，则 $(\mathrm{End}V,[,])$ 构成一个李代数，称为 $V$ 上的一般线性代数（General Lie Algebra），记作 $\mathfrak{gl}(V)$。
特别地，若 $V$ 是有限维的：$V\cong {\mathbb{F}}^n$，则可取定基记作 ${\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F})$。此时，${\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F})$ 是矩阵的集合。

称一般线性代数的一个李子代数为线性李代数（linear Lie algebra）。

$$[e_{{\text{行}}_1{\text{列}}_1},e_{{\text{行}}_2{\text{列}}_2}]={\delta }_{\text{另外两个项}}{e}_{{\text{行}}_1{\text{列}}_2}-{\delta }_{\text{另外两个项}}{e}_{{\text{行}}_2{\text{列}}_1}.$$

在 $B_l,C_l,D_l$ 中，我们要求 $\mathrm{char}\mathbb{F}\ne 2$.

对给定的 $l$ ，设 $V$ 为 $\mathbb{F}$ 上 $l+1$ 维线性空间，在 $\mathrm{Sl}(V)$ （或 ${\mathrm{Sl}}_{l+1}(\mathbb{F})$） 上定义李括号为交换子，得到的李代数称为特殊线性代数（Special Linear Algebra），记作 $\mathfrak{sl}(V)$ 或 ${\mathfrak{sl}}_{l+1}(\mathbb{F})$ ．

1. ${\mathfrak{sl}}_{l+1}(\mathbb{F})<{\mathfrak{gl}}_{l+1}(\mathbb{F})$：特殊线性代数是与之同阶的一般线性代数的子代数；
2. ${\mathfrak{sl}}_{l+1}(\mathbb{F})$ 的维数为 $(l+1{)}^2-1$ ，特别地，一组基为$$\bigcup _{\text{goodstack}1\le i,j\le ni\ne j}\{e_{ij}\}\cup \bigcup _{k=1}^{n-1}\{e_{kk}-e_{k+1,k+1}\}.$$即：$n(n-1)$ 个非对角基矩阵全体及 $n-1$ 个“对角基矩阵与对角基矩阵之差”．我们将这组基视为 ${\mathfrak{sl}}_{l+1}(\mathbb{F})$ 的一组标准基．

对给定的 $l$，考虑 $2l$ 维线性空间 $V$，在其上取基．则其上非退化斜对称双线性型 $f$ （矩阵为 $F=\left(\begin{array}{cc}& I_l\\ -I_l\end{array}\right)$）的矩阵群上定义李括号为交换子，得到的李代数称为辛代数（Sympletic Algebra），记作 $\mathfrak{sp}(V)$ 或 ${\mathfrak{sp}}_{2l}(\mathbb{F})$ ．

1. ${\mathfrak{sp}}_{2l}(\mathbb{F})<{\mathfrak{sl}}_{2l}(\mathbb{F})<{\mathfrak{gl}}_{2l}(\mathbb{F})$：${\mathfrak{sp}}_{2l}(\mathbb{F})$ 是 ${\mathfrak{sl}}_{2l}(\mathbb{F})$ 的一个子代数，从而是一个线性李代数；
2. ${\mathfrak{sp}}_{2l}(\mathbb{F})$ 的维数为 $2l^2+l$；特别地，可由下取出一组基：
   • 生成 $m$ 与 $q$：
     • 对角元： $e_{ii}-e_{l+i,l+i}$，$1\le i\le l$；
     • 非对角元，保证反对称：$e_{ij}-e_{l+j,l+i}$ ，$1\le i\ne j\le l$；
   • 生成 $n$：
     • 对角元： $e_{i,l+i}$，$1\le i\le l$；
     • 非对角元，保证对称：$e_{i,l+j}+e_{j,l+i}$，$1\le i<j\le l$；
   • 生成 $p$：
     • 对角元： $e_{l+i,i}$，$1\le i\le l$；
     • 非对角元，保证对称：$e_{l+i,j}+e_{l+j,i}$，$1\le i<j\le l$ ．

对给定的 $l$，设 $V$ 为 $2l+1$ 维线性空间．设 $f$ 为其上的一个非退化对称双线性型（在某组基下矩阵为 $F=\left(\begin{array}{c}1\\ & & I_l\\ & I_l\end{array}\right)$），则 $V$ 上所有满足

的同态 $x$ 在交换子下构成线性李代数，称为 （奇数维）正交代数（Orthogonal Algebra），记作 $\mathfrak{o}(V)$ 或 ${\mathfrak{o}}_{2l+1}(\mathbb{F})$ ．

1. ${\mathfrak{o}}_{2l+1}(\mathbb{F})<{\mathfrak{sl}}_{2l+1}(\mathbb{F})<{\mathfrak{gl}}_{2l+1}(F)$ 为线性李代数；
2. ${\mathfrak{o}}_{2l+1}(\mathbb{F})$ 的维数为 $2l^2+l$，其一组基为

• 生成 $M,Q$：
  • 对角元：$e_{ii}-e_{l+i,l+i}$，$2\le i\le l+1$;
  • 非对角元，保证反对称：$e_{i+1,j+1}-e_{l+j+1,l+i+1}$，$1\le i\ne j\le l$ ．
• 生成 $N$：$e_{i+1,l+j+1}-e_{j+1,l+i+1}$，$1\le i<j\le l$ ；
• 生成 $P$：$e_{i+l+1,j+1}-e_{j+l+1,i+1}$，$1\le j<i\le l$；
• 生成 $b_1,b_2,c_1,c_2$: $e_{1,l+i+1}-e_{i+1,1}$ 及 $e_{1,i_1}-e_{l+i+1,1}$，$1\le i\le l$ ．

对给定的 $l$，设 $V$ 为 $2l$ 维线性空间．设 $f$ 为其上的一个非退化对称双线性型（在某组基下矩阵为 $F=\left(\begin{array}{cc}& I_l\\ I_l\end{array}\right)$），则 $V$ 上所有满足

的同态 $x$ 在交换子下构成线性李代数，称为 （偶数维）正交代数（Orthogonal Algebra），记作 ${\mathfrak{o}}_{(}V)$ 或 ${\mathfrak{o}}_{2l}(\mathbb{F})$ ．

1. ${\mathfrak{o}}_{2l}(\mathbb{F})<{\mathfrak{sl}}_{2l}(\mathbb{F})<{\mathfrak{gl}}_{2l}(F)$ 为线性李代数；
2. （习题 8）${\mathfrak{o}}_{2l}(\mathbb{F})$ 的维数为 $2l^2-l$，其一组基为

• 生成 $M,Q$：
  • 对角元：$e_{ii}-e_{l+i,l+i}$，$1\le i\le l$;
  • 非对角元，保证反对称：$e_{i,j}-e_{l+j,l+i}$，$1\le i\ne j\le l$ ．
• 生成 $N$：$e_{i,l+j}-e_{j,l+i}$，$1\le i<j\le l$ ；
• 生成 $P$：$e_{i+l,j}-e_{j+l,i}$，$1\le j<i\le l$ ．

记 ${\mathfrak{t}}_n(\mathbb{F})$ 为 $n$ 阶上三角矩阵方阵代数，${\mathfrak{n}}_n(\mathbb{F})$ 为 $n$ 阶严格上三角方阵代数（对角元为 $0$ 的上三角阵），${\mathfrak{d}}_n(\mathbb{F})$ 为 $n$ 阶对角阵代数．

1. ${\mathfrak{t}}_n(\mathbb{F})={\mathfrak{d}}_n(\mathbb{F})\oplus {\mathfrak{n}}_n(\mathbb{F})$；
2. 注意到 $[{\mathfrak{d}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{n}}_n(\mathbb{F})]={\mathfrak{n}}_n(\mathbb{F})$，我们有 $[{\mathfrak{t}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{t}}_n(\mathbb{F})]={\mathfrak{n}}_n(\mathbb{F}).$

设 $\mathfrak{V}$ 为 $\mathbb{F}$ 上线性空间，在其上定义并置（juxtaposion） 运算为双线性型

则称 $(\mathfrak{V},\cdot )$ 为一个 $\mathbb{F}-$ 代数．

设 $\mathfrak{V}$ 是一个 $\mathbb{F}-$ 代数，称其上线性映射 $\delta \in \mathrm{End}\mathfrak{V}$ 是一个导子（Derivation），如果 $\delta$ 关于并置运算满足 Leibniz 律

记 $\mathfrak{V}$ 上的全体导子的集合为 $\mathrm{Der}\mathfrak{V}$ ．

$\mathrm{Der}\mathfrak{V}<\mathfrak{gl}(\mathfrak{V})$ ．

例如 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\in \mathrm{Der}\mathbb{R}[x]$ 的平方并不是导子，因为二阶导算子 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{x}^2}}$ 并不满足 Leibniz 律，而是二阶 Leibniz 律：

因此其不是导子．
、

设 $L$ 为李代数，称形如 $\mathrm{ad}x:x\in L$ 的导子为内导子（Inner Derivation）．

$[\delta ,\mathrm{ad}x]=\mathrm{ad}(\delta (x)).$

上面说明：对任意 $x\in \mathrm{ad}L$，$y\in \mathrm{Der}L$，都有 $[x,y]\in \mathrm{ad}L$。用理想的语言，这说明内导子是导子代数的理想。

在多项式环 $\mathbb{F}[x]$ 上定义导子：对给定的 $f(x)$ ，导子 $f(x){\mathrm{d}}_x$ 定义为

则我们有 $\mathrm{Der}(\mathbb{F}[x])=\{f(x){\mathrm{d}}_x:f(x)\in \mathbb{F}[x]\}$，即以上结构给出了多项式环上的所有导子。

环 $A=\mathbb{F}[x,x^{-1}]$, 则其上的导子为 $\mathrm{Der}(A)=\{f(x){\mathrm{d}}_x:f\in A\}$。定义一类导子 $L_n:=-x^{n+1}{d}_x$ ，计算可得

全体这样的 $L_m,L_n$ 构成的李代数称为 Witt 代数。

在如上定义的 Witt 代数中增加一个 $c$，满足 $c$ 与所有 $L_n$ 算子均交换：

定义李括号为

在线性空间 $V$ 上定义李括号为：$[x,y]\equiv 0$，得到的李代数称为 Abel 李代数（abelian algebra）．

基 $x_i,x_j$ 的李括号可表示为

称 $(\ast )$ 中出现的常数组 $\{a_{ij}^k\}$ 为结构常数（Structure Constant）．

三元运算

称为结合子 (associator)。